В группе 16 студентов, среди которых 8 отличников. Наугад отобраны 10 студентов, найти вероятность того,...

Для решения этой задачи используем комбинаторику и понятие гипергеометрического распределения, которое описывает вероятность того, что в выборке из некоторого конечного множества содержится определённое число объектов с определённым свойством.

В нашем случае:

• Общее количество студентов ( N = 16 ).
• Количество отличников ( K = 8 ).
• Общее количество отобранных студентов ( n = 10 ).
• Количество отличников среди отобранных ( k = 5 ).

Нужно найти вероятность того, что среди 10 отобранных студентов будет ровно 5 отличников.

Формула гипергеометрического распределения для этого случая:

[ P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} ]

Где:

• ( \binom{K}{k} ) — число способов выбрать ( k ) отличников из ( K ) отличников.
• ( \binom{N-K}{n-k} ) — число способов выбрать остальные ( n-k ) студентов из ( N-K ) неотличников.
• ( \binom{N}{n} ) — общее число способов выбрать ( n ) студентов из ( N ).

Подставим наши значения в формулу:

1. ( \binom{8}{5} ) — число способов выбрать 5 отличников из 8.

2. ( \binom{8}{5} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 ).

3. ( \binom{8}{5} ) — число способов выбрать 5 неотличников из оставшихся 8 студентов.

4. ( \binom{8}{5} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 ).

5. ( \binom{16}{10} ) — общее число способов выбрать 10 студентов из 16.

6. ( \binom{16}{10} = \binom{16}{6} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8008 ).

Теперь подставим в формулу:

[ P(X = 5) = \frac{56 \times 56}{8008} = \frac{3136}{8008} ]

Упростим дробь:

[ P(X = 5) = \frac{392}{1001} ]

Таким образом, вероятность того, что среди 10 отобранных студентов окажется ровно 5 отличников, составляет (\frac{392}{1001}).

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой вероятности.

В данном случае у нас есть 8 отличников из 16 студентов, поэтому вероятность того, что при однократном выборе студента мы выберем отличника, равна 8/16 = 0.5.

Так как нам нужно найти вероятность того, что среди отобранных 10 студентов окажется 5 отличников, то нам необходимо воспользоваться формулой сочетаний.

Количество комбинаций, когда среди 10 отобранных студентов окажется 5 отличников, равно C(8,5) * C(8,5) / C(16,10). Где C(n, k) - это число сочетаний из n по k.

Подставляем значения и получаем:

C(8,5) = 56 C(16,10) = 8008

Вероятность равна 56 * 56 / 8008 ≈ 0,3927.

Таким образом, вероятность того, что среди отобранных 10 студентов окажется 5 отличников, составляет около 0,3927 или примерно 39,27%.