1. Определите массу Сатурна (в массах Земли) путем сравнения системы Сатурн—Титан с системой Земля—Луна,...

1. Для определения массы Сатурна в массах Земли воспользуемся третьим законом Кеплера, который гласит, что отношение кубов полуосей орбит двух небесных тел квадратам периодов обращения этих тел одинаково.

Для системы Сатурн—Титан: (1220 + r)^3 / T^2 = M_saturn

Для системы Земля—Луна: (384,4 тыс. км)^3 / (27,3 суток)^2 = M_earth

Где M_saturn и M_earth - массы Сатурна и Земли в массах Земли соответственно.

Далее, подставляем известные значения и находим массу Сатурна: (1220 + 1)^3 / (16)^2 = M_saturn 1221^3 / 256 = M_saturn M_saturn = 706.66

Таким образом, масса Сатурна составляет примерно 706.66 масс Земли.

1. Для определения массы Плутона в массах Земли используем тот же принцип, что и в предыдущем пункте.

Для системы Плутон—Харон: (19,7 + r)^3 / T^2 = M_pluto

Подставляем известные значения и находим массу Плутона: (19,7 + 1)^3 / (6,4)^2 = M_pluto 20,7^3 / 40,96 = M_pluto M_pluto = 20,3

Таким образом, масса Плутона составляет примерно 20,3 масс Земли.

Для решения этих задач можно использовать закон всемирного тяготения и третий закон Кеплера. Третий закон Кеплера для спутника планеты может быть записан в виде:

[ T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M + m)}r^3 ]

где:

• ( T ) — период обращения спутника,
• ( r ) — среднее расстояние от спутника до планеты,
• ( G ) — гравитационная постоянная,
• ( M ) — масса планеты,
• ( m ) — масса спутника (в данной задаче массой спутника пренебрегаем).

Однако, для сравнения с системой Земля—Луна, можно упростить уравнение, поскольку масса спутника пренебрежимо мала:

[ \frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM} ]

1. Определение массы Сатурна:

Для системы Земля—Луна известно, что:

• Период обращения Луны ( T_\text{Луна} \approx 27.32 ) дня,
• Среднее расстояние до Луны ( r_\text{Луна} \approx 384 ) тыс. км.

Для системы Сатурн—Титан:

• ( T_\text{Титан} = 16 ) дней,
• ( r_\text{Титан} = 1220 ) тыс. км.

Из третьего закона Кеплера, с учетом того, что массы спутников малы, получаем:

[ \frac{T\text{Титан}^2}{r\text{Титан}^3} = \frac{4\pi^2}{GM_\text{Сатурн}} ]

[ \frac{T\text{Луна}^2}{r\text{Луна}^3} = \frac{4\pi^2}{GM_\text{Земля}} ]

Приравнивая правые части:

[ \frac{T\text{Титан}^2}{r\text{Титан}^3} = \frac{T\text{Луна}^2}{r\text{Луна}^3} \times \frac{M\text{Земля}}{M\text{Сатурн}} ]

Отсюда:

[ M\text{Сатурн} = M\text{Земля} \times \left( \frac{T\text{Луна}^2 \cdot r\text{Титан}^3}{T\text{Титан}^2 \cdot r\text{Луна}^3} \right) ]

Подставляем значения:

[ M\text{Сатурн} = M\text{Земля} \times \left( \frac{27.32^2 \cdot (1220 \times 10^3)^3}{16^2 \cdot (384 \times 10^3)^3} \right) ]

Вычислив это выражение, получаем массу Сатурна в массах Земли.

1. Определение массы Плутона:

Для системы Плутон—Харон:

• ( T_\text{Харон} = 6.4 ) дня,
• ( r_\text{Харон} = 19.7 ) тыс. км.

Используем аналогичную формулу:

[ \frac{T\text{Харон}^2}{r\text{Харон}^3} = \frac{T\text{Луна}^2}{r\text{Луна}^3} \times \frac{M\text{Земля}}{M\text{Плутон}} ]

Отсюда:

[ M\text{Плутон} = M\text{Земля} \times \left( \frac{T\text{Луна}^2 \cdot r\text{Харон}^3}{T\text{Харон}^2 \cdot r\text{Луна}^3} \right) ]

Подставляем значения:

[ M\text{Плутон} = M\text{Земля} \times \left( \frac{27.32^2 \cdot (19.7 \times 10^3)^3}{6.4^2 \cdot (384 \times 10^3)^3} \right) ]

Вычислив это выражение, получаем массу Плутона в массах Земли.

Таким образом, сравнивая системы спутников, мы получаем значения масс планет в долях массы Земли.